С 1910 по 1915 год учился на математическом отделении физико-математического факультета Императорского Московского университета, который окончил с дипломом Первой степени.
Служил в царской армии с октября 1916 года по ноябрь 1917 старшим фейерверкером из вольноопределяющихся. С ноября 1918 по май 1921 года служил в Красной Армии старшим артиллеристом-наблюдателем и временным командиром взвода, участвовал в Гражданской войне в боях на Южном фронте против войск Деникина и Врангеля. Штабом 9-й Кубанской армии за бои с десантом Врангеля в 1920 году награжден серебряными часами.
С 28 августа 1939 года поступил на работу в Московский автомеханический институт ассистентом кафедры математики, имея общий стаж преподавательской работы 15 лет.
Попал в плен под Вязьмой.
Находился в лазарете лагеря для военнопленных шталаг-352 в местечке Масюковщина под Минском в Белорусской ССР.
О своем дяде рассказывают Аристархова Маргарита Васильевна и Кузина Елена Владимировна: «... В лагере, тайком, под защитой военнопленного врача, он вел дневник. Умер в лагере 24 января 1944 года. После войны врач передал дневник сестре жены Мстислава Андреевича: Величко Зинаиде Тимофеевне (в девичестве Бетина). Однако, дневник исчез. Что там было написано, неизвестно».
Мстислав Андреевич Можаров увековечен на памятнике, установленом у здания Московского Политеха (бывшего здания МАМИ) на Большой Семёновской улице, д.38.
